例 2.8.13（2）：循环分式求 x,y,z
专业排版优化版 / 分式全部上下结构
题目
x − 1y = y − 1z = z − 1x = 14 ( xyz − 1xyz )
求 x、y、z 的值。
讲解思路
视频和网页都按“先看结构，再变形，最后计算”的顺序展开。下面每一步都对应一个动画镜头。
第 1 步：设公共值
令这些相等的式子都等于 k：
x − 1y = y − 1z = z − 1x = k
先用 k 降低式子的复杂度。
第 2 步：写出循环关系
由：
x − 1y = k
得到：
1y = x − k
y = 1x − k
同理得到 x → y → z → x 的循环。
结构上和上一题类似，但符号从 t−x 变成 x−k。
第 3 步：草稿降元
在实数退化情形下，先看：
x = y = z = r
则：
xyz = r³
这一步正式发布前需要老师确认更严谨的证明方式。
第 4 步：代回原式
公共值变成：
r − 1r
右边变成：
14( r³ − 1r³ )
所以：
4(r − 1r) = r³ − 1r³
把三个变量问题变成一个变量 r 的问题。
第 5 步：使用恒等式
令：
q = r − 1r
恒等式：
r³ − 1r³ = q³ + 3q
于是：
4q = q³ + 3q
这个代换能避免直接展开高次分式。
第 6 步：分支求值
q³ − q = 0
q(q−1)(q+1)=0
所以 q = 0、1、−1，再分别解：
r − 1r = q
得到 6 个 r 的候选值，且 x=y=z=r。
最终答案
x = y = z = r
其中 r 来自 q=0,1,−1 的六个分支
其中 r 来自 q=0,1,−1 的六个分支
审核提醒
第 3 题当前仍是 AI 草稿解析。正式版需要补足“为什么必须 x=y=z”的证明，或按原书答案调整。