例 2.8.13（1）：循环分式求 t
专业排版优化版 / 分式全部上下结构
题目
a + 1b = b + 1c = c + 1a = t
已知 a、b、c 互不相等，求 t 的值。
讲解思路
视频和网页都按“先看结构，再变形，最后计算”的顺序展开。下面每一步都对应一个动画镜头。
第 1 步：引入同一个变换
由第一个等式：
a + 1b = t
移项得到：
1b = t − a
所以：
b = 1t − a
把 a 变到 b 的规则找出来。
第 2 步：写成循环
同理：
b = 1t − a, c = 1t − b, a = 1t − c
也就是：
a → b → c → a
a、b、c 互不相等，所以不是固定不动，而是形成三步循环。
第 3 步：抽象成函数
令：
f(x) = 1t − x
那么：
b=f(a), c=f(b), a=f(c)
竞赛题常把循环式看成一个变换。
第 4 步：三次回到原点
连续作用三次：
f(f(f(a))) = a
由于 a、b、c 互不相等，这是三循环条件。
这一步是本题的核心结构。
第 5 步：得到 t 的条件
对这个分式变换计算三次复合，非平凡三循环会给出：
t² = 1
正式视频里可以把复合计算拆成动画；这里先给出结论供老师审核。
第 6 步：写出答案
t = 1 或 t = −1
t = ±1
两个值都可以产生互不相等的循环。
最终答案
t = ±1
审核提醒
这题“分式变换三循环”较竞赛化；正式给学生讲时建议补充 f(f(f(x))) 的展开过程。