例 2.9.10：双重求和
专业排版优化版 / 分式全部上下结构
题目
计算 10Σi=1 iΣj=1 ijj + 10
讲解思路
视频和网页都按“先看结构，再变形，最后计算”的顺序展开。下面每一步都对应一个动画镜头。
第 1 步：看清求和区域
原式中，外层是 i = 1 到 10，内层是 j = 1 到 i，所以所有被加的点满足：
1 ≤ j ≤ i ≤ 10
这在 10×10 表格里是一个三角形区域。
先把“加哪些项”看清楚，后面才能安全地交换求和顺序。
第 2 步：交换求和顺序
原来是先固定 i，再枚举 j。换成先固定 j，则 j 从 1 到 10，而 i 从 j 到 10：
10Σj=1 10Σi=j ijj + 10
交换顺序的本质，是同一个三角区域换一个方向扫描。
第 3 步：先对 i 求和
固定 j 时，分母 j+10 不随 i 变：
10Σi=j ijj + 10 = jj + 10 10Σi=j i
把不随 i 变化的部分提出去。
第 4 步：计算等差和
i 从 j 加到 10，一共有 11−j 项，首项 j，末项 10：
10Σi=j i = (j + 10)(11 − j)2
这是普通等差数列求和。
第 5 步：约分并求和
jj + 10 × (j + 10)(11 − j)2 = j(11 − j)2
因此原式等于：
12 10Σj=1 (11j − j²)
这里 j+10 被完整约掉，式子大幅变简单。
第 6 步：代入公式
1+2+...+10 = 55
1²+2²+...+10² = 385
12(11×55 − 385) = 2202 = 110
最后只剩两个基础求和公式。
最终答案
110